TRIGONOMETRIA



LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
En el triángulo OAB:




En el triángulo OCD:


Relaciones fundamentales:
La tangente de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir el seno entre el coseno del mismo ángulo. (Por los criterios de semejanza entre triángulos).

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
El objetivo de la trigonometría es estudiar las relaciones existentes entre los lados y los ángulos de un triángulo.
Ideas a recordar (aparte de las líneas y relaciones trigonométricas):
Resolver un triángulo es calcular todos sus lados y ángulos a partir de un mínimo número de ellos que sirvan para determinarlo.
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2   (en triángulos rectángulos).




Resolución de triángulos rectángulos
  1. Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla . Calcula la anchura del río.








Sol: anchura = 57.73 m
  1. Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.











Sol: altura = 40.98 m
  1. Un edificio proyecta una sombra de 150 m cuando el sol forma un ángulo de 20º sobre la horizontal, calcular la altura del edificio.








Sol: altura = 54.59 m
  1. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º y, si retrocedemos 40 metros, se ve bajo un ángulo de 30º. Calcula el ancho del río y la altura del árbol.








Sol: altura árbol = anchura río = 54.64 m
  1. Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes, para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B obteniendo como ángulos de elevación 30º y 45º respectivamente. La distancia AB es de 30 metros. Calcula la altura de la torre.












Sol: altura = 40.98 m
  1. Una persona quiere construir la escalera de su casa y dispone para ello de madera suficiente como para hacer 10 escalones tales que cada uno de ellos tiene 32 cm de profundidad. Si la altura del piso al techo es de 2.55 metros, ¿cuál debería ser la inclinación de la escalera? ¿Cuál es la altura de cada escalón?






Sol: ; h (peldaño) = 25.5 cm
  1. Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta una altura de 15 metros, ¿qué ángulo se deberá inclinar la cinta?









Sol:
  1. Una persona de 1,78 metros de estatura proyecta una sombra de 66 cm y en ese momento un árbol da una sombra de 2,3 metros. ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con la horizontal? ¿Cuál es la altura del árbol?











Sol: α =69.65º; altura = 6.20 m
  1. Calcula los lados iguales y el área de un triángulo isosceles cuyo lado desigual mide 24 cm y el ángulo opuesto a la base mide 40º.










Sol: lado = 35.08 cm; área = 395.57cm2
  1. Hemos colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra la figura. ¿Cuánto miden el mástil y el cable?














Sol: cable = 14.64 m+10.35 m = 24.99 m
Mástil = 7.31 m
  1. Un barco B pide socorro y se reciben sus señales de radio en dos estaciones, A y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: BAC = 46º y BCA =53º. ¿A qué distancia desde cada estación se encuentra el barco?

















Sol: a = 36.41 km; c = 40.43 km
Resolver un triángulo es obtener uno o más elementos desconocidos partiendo de los elementos (lados y ángulos) que ya se conocen. Para ello:
  • Aplicaremos las razones trigonométricas (sen, cos, tg) a la resolución de triángulos rectángulos.
  • Los procedimientos válidos para resolver triángulos rectángulos pueden aplicarse a triángulos obtusángulos si en estos se traza una de sus alturas, lo que da lugar a dos triángulos rectángulos resolubles (estrategia de la altura).
  • Generalizando el método anterior a triángulos cualesquiera, se obtienen dos “familias” de fórmulas (teoremas del seno y del coseno) con las que se puede resolver de forma automática cualquier triángulo.
  1. En el triángulo adjunto conocemos dos lados, a = 120 m, b = 172 m, y un ángulo C = 61º. Calcular la longitud del tercer lado, c.












Sol: c = 154.82 m
  1. Para hallar el ancho de un río procedemos así: Nos situamos en un punto A, en una orilla del río, y medimos el ángulo (53º) bajo el cual se ve un árbol que está frente a nosotros, en la otra orilla. Nos alejamos 20 m de la orilla en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el cual se ve el árbol, 32º. ¿Cuánto mide el ancho del río?






Sol: ancho = 17.46 m
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
Sin tener que utilizar cada vez la estrategia de la altura:
Teorema de los senos:
En un triángulo cualquiera de lados a, b, c y de ángulos A, B, C, se cumplen las siguientes igualdades:
DATOS CONOCIDOS
INCÓGNITAS
Dos ángulos y un lado. (ej 14)
Otro lado
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (ej. 12, 15)
Otro ángulo
Se aplica cuando se conocen:


  • Cuando, al aplicar el teorema de los senos, la incógnita es uno de los ángulos, puede haber dos soluciones, pues entre 0º y 180º hay dos ángulos con el mismo seno, uno agudo y otro obtuso. Entonces, es imprescindible COMPROBAR los ángulos
  1. De un triángulo conocemos c = 63 m, B = 42º, A = 83º. Calcula el lado a.










Sol: a = 76.34 m
  1. Si a = 4 cm, B = 30 º y b = 5 cm, calcula A.








Sol: como sen A = 04. Posibles soluciones: A1 = 23.57º y A2 = 156.42º. A2 imposible ya que A + B >180º. Solo
A1 = 23.57º es válida
Teorema del coseno
En un triángulo cualquiera de lados a, b, c, se cumple que:
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA y analogamente:
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 -2ab cos C
Este teorema se aplica cuando se conocen:
DATOS CONOCIDOS
INCÓGNITAS
Los tres lados (ej. 17)
Cualquier ángulo
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
El otro lado
Dos lados y el ángulo que forman (ej. 16)
El otro lado. Otro ángulo (aplicar así mismo el teorema de los senos)
  1. Calcula el lado b de un triángulo cuyos lados a y c son 1200 m y 700 m respectivamente y el ángulo que forman es de  108º












Sol: b = 1564.97 m
  1. Resuelve un triángulo del que se conocen a = 37 cm, b = 42 cm y c = 68 cm.








Sol: A = 28.51º; B = 32.81;  C = 118.66º
  1. En un triángulo conocemos dos ángulos y un lado:A = 55º; B = 98º; a = 7.5 cm. Resuelve.










Sol: C = 27º; b = 9.1 cm; c = 4.2 cm
  1. En un triángulo se conocen: A = 35º, b = 20 cm, c = 14 cm. Resuelve el triángulo.













Sol: a = 11.7 cm; C = 43.34º; B = 101.65º
  1. Una antena de radio está sujeta al suelo con dos cables, que forman con la antena ángulos de 36º y 48º. Los puntos de sujeción de los cables están alineados con el pie de la antena y distan entre sí 98 m. Calcula la altura de la antena.








Sol: h = 53.3 m
  1. En un triángulo se conocen: A = 28º, B = 17º y c = 72 cm. Resuelve el triángulo.











Sol: C = 135º; a = 47.80 cm; b = 29.77 cm
  1. En un triángulo se conocen: a = 7 cm, b= 9 cm y c = 12 cm. Resuelve el triángulo.










Sol: A = 35.44º; B = 48.19º; C = 96.38º
  1. Tres personas están en tres puntos distintos de la orillla de un lago. La primera dista de la segunda 1 km, la segunda de la tercera 1.5 km y ésta de la primera 2 km. ¿Qué ángulos forman entre sí dichas personas?











Sol: A = 46.56º; B= 104.47º; C = 28.95º
  1. De un triángulo conocemos B = 40º, A = 47º y c = 17 m ¿Cuál es la altura del triángulo?









Sol: h = 8 m
  1. De un triángulo conocemos a = 12 cm, b = 10 cm y c = 16 cm. ¿Cuánto vale A?










Sol: A = 48.5º
  1. De un triángulo conocemos b = 22 cm, a = 7 cm y C = 40º. Resuelve el triángulo.














Sol: c = 17.23 cm; A=15.13º; B= 124.84º
  1. De un triángulo conocemos a = 7 cm, A = 65º y B = 55º. Resuelve el triángulo.
















Sol: C = 60º; b = 6.3268 cm; c = 6.6888 cm
  1. De un triángulo conocemos a = 8.9 m, c = 6.5 m y B = 115º. Resuelve el triángulo.












Sol: b = 13.05 m; A = 38.17º; C = 26.83º
  1. De un triángulo conocemos a = 2 m, b = 3 m y c = 4 m. Halla C.












Sol: C = 104.47º
  1. De un triángulo conocemos a = 4 cm, b = 3 cm y B = 30º. Halla los ángulos restantes.











Sol: A1 = 41.81º,  C1 = 108.19º
A2 = 138.19º, C2 = 11.811º
  1. Resuelve el siguiente triángulo: a = 8 cm, b = 6 cm y c = 5 cm










Sol: B = 48.50º, A = 92.87º, C = 38.62º
  1. Resuelve el siguiente triángulo: b = 4 cm, c = 3 cm y A = 105º











Sol: a = 5.58 cm; B = 43.82º; C = 31.18º
  1. Al recorrer 3 km por una carretera hemos ascendido 280 m. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?









Sol: pendiente = 5.35º
  1. Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan entre sí 80 km. Las visuales desde el avión a A y B forman forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente (es decir los ángulos A y B son: A = 29º y B = 43º). ¿A qué altura está el avión? (Resuélvelo por dos métodos distintos en el que uno será la estrategia de la altura)




















Sol: h = 27.81 km
  1. Resuelve el siguiente triángulo:




















Sol: c = 4.66 cm; h = 3.57 cm; C = 30.66º; B = 99.34º ; b = 9 cm
  1. Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con la recta AB ángulos de 40º y 65º (ángulos A y B respectivamente) ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora?
















Sol: a = 6.65 km; b = 9.38 km
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